I. DEFINISI

            System bilangan (number system) adalah  suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah system biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai  untuk mewakili suatu besaran nilai.

            Selain system bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal.

II. Teori Bilangan

1.    Bilangan Desimal

Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan.

Integer desimal :

adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :

8 x 10³      = 8000

5 x 10²      =   500

9 x 10¹      =      90

8 x 10⁰      =        8

                      8598

                                                                        position value/palce value                                                                                     absolute value

Absolue value merupakan nilai untuk masing-masing digit bilangan, sedangkan  position value adalah merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing digit tergantung dari letak posisinya, yaitu nernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.

Pecahan desimal :

Adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75 adalah pecahan desimal yang dapat diartikan :

1 x 10 ²           = 100

8 x 10 ¹           =  80

3 x 10 ⁰           =    3

7 x 10 ^–1         =    0,7

5 x 10 ^–2         =    0,05

                          183,75

2. Bilangan Binar

            Sistem bilangan binary menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1.

Contoh bilangan 1001 dapat diartikan :

1 0 0 1

                                                            1 x 2 ⁰ = 1

                                                            0 x 2 ¹ = 0

                                                            0 x 2 ² = 0

                                                            1 x 2 ³ = 8

                                                                        10 ₍₁₀₎

Operasi aritmetika pada bilangan Biner :

a.    Penjumlahan

Dasar penujmlahan biner adalah :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0                     dengan carry of 1, yaitu 1 + 1 = 2, karena digit terbesar ninari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2 = 0 dengan carry of 1

contoh :

1111

  10100 +

                  100011

atau dengan langkah :

 1 + 0              = 1

 1 + 0              = 1

 1 + 1              = 0 dengan carry of 1

 1 + 1 + 1        = 0

 1 + 1              = 0 dengan carry of 1                                    1  0     0      0    1     1

b.    Pengurangan

Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah :

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 – 1 = 1                     dengan borrow of 1, (pijam 1 dari posisi sebelah kirinya).

Contoh :

11101

 1011 -

          10010

            dengan langkah – langkah :

            1 – 1               = 0

            0 – 1               = 1 dengan borrow of 1

           

1 – 0 – 1         = 0

            1 – 1               = 0

            1 – 0               = 1

                                                                                                1    0     0         1   0

c.    Perkalian

Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan biner adalah :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

contoh

d.    pembagian

Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah :

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

3. Bilangan Oktal

            Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.

Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8.

Contoh :

12₍₈₎ = …… ₍₁₀₎

                                                            2 x 8 ⁰ = 2

                                                            1 x 8 ¹ =8                                                                                                                                10

Jadi 10 ₍₁₀₎

Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal

a.    Penjumlahan

Langkah-langkah penjumlahan octal :

-          tambahkan masing-masing kolom secara desimal

-          rubah dari hasil desimal ke octal

-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal

-          kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Contoh :

b.    Pengurangan

Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.

Contoh :

c.    Perkalian

Langkah – langkah :

-          kalikan masing-masing kolom secara desimal

-          rubah dari hasil desimal ke octal

-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal

-          kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.

Contoh :

d.    Pembagian

4. Bilangan Hexadesimal

Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F

Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15

Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari  nilai 16.

Contoh :

C7₍₁₆₎ = …… ₍₁₀₎

                                                            7 x 16 ⁰           =     7

                                                            C x 16 ¹          = 192                                                                                                                             199

Jadi 199 ₍₁₀₎

Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal

a.    Penjumlahan

Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan penjumlahan bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal :

-          tambahkan masing-masing kolom secara desimal

-          rubah dari hasil desimal ke hexadesimal

-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal

-          kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Contoh :

b.    Pengurangan

Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.

Contoh :

c.    Perkalian

Langkah – langkah :

-          kalikan masing-masing kolom secara desimal

-          rubah dari hasil desimal ke octal

-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal

-          kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.

Contoh :

D. Pembagian

Contoh :

III. Konversi Bilangan

            Konversi bilangan adalah suatu proses dimana satu system bilangan dengan basis  tertentu akan dijadikan  bilangan dengan basis yang alian.

Konversi dari bilangan Desimal

1.    Konversi dari bilangan  Desimal ke biner

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan dua kemudian diambil sisa pembagiannya.

Contoh :

45 (10) = …..(2)

45 : 2 = 22 + sisa 1

22 : 2 = 11 + sisa 0

11 : 2 =   5 + sisa 1

  5 : 2 =   2 + sisa 1

  2 : 2 =   1 + sisa 0               101101(2) ditulis dari  bawah ke atas

2.    Konversi bilangan Desimal ke Oktal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 kemudian diambil sisa pembagiannya

            Contoh :

            385 ( 10 ) = ….(8)

            385 : 8 = 48 + sisa 1

              48 : 8 =   6 + sisa 0

                                                            601 (8)

3.    Konversi bilangan Desimal ke Hexadesimal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 kemudian diambil sisa pembagiannya

            Contoh :

            1583 ( 10 ) = ….(16)

            1583 : 16 = 98  + sisa 15

                 96 : 16 =   6 + sisa 2

                                                            62F (16)

Konversi dari system bilangan Biner

1.    Konversi ke desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

1 0 0 1

                                                            1 x 2 ⁰ = 1

                                                            0 x 2 ¹ = 0

                                                            0 x 2 ² = 0

                                                            1 x 2 ³ = 8

                                                                        10 ₍₁₀₎

2.     Konversi ke Oktal

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap tiga buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.

Contoh :

11010100 (2) = ………(8)

11   010   100

            3          2          4

diperjelas :

100 = 0 x 2 ⁰  = 0

            0 x 2 ¹ = 0

            1 x 2 ² = 4

                             4

Begitu seterusnya untuk yang lain.

3.    Konversi ke Hexademial

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap empat buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.

Contoh :

11010100

1101    0100

                                                                                                                                                D             4

Konversi dari system bilangan Oktal

1.    Konversi ke Desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

12₍₈₎ = …… ₍₁₀₎

                                                            2 x 8 ⁰ = 2

                                                            1 x 8 ¹ =8                                                                                                                                10

Jadi 10 ₍₁₀₎

2.    Konversi ke Biner

Dilakukan dengan mengkonversikan masing-masing digit octal ke tiga digit biner.

Contoh :

6502 (8) ….. = (2)

2 = 010

0 = 000

5 = 101

6 = 110

jadi 110101000010

3.    Konversi ke Hexadesimal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan octal menjadi bilangan biner kemudian dikonversikan ke hexadesimal.

Contoh :

2537 (8) = …..(16)

2537 (8) = 010101011111

010101010000(2)  = 55F (16)

Konversi dari bilangan Hexadesimal

1.    Konversi ke Desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

C7₍₁₆₎ = …… ₍₁₀₎

                                                                        7 x 16 ⁰           =     7

                                                                        C x 16 ¹          = 192                                                                                                                             199

Jadi 199 ₍₁₀₎

2.    Konversi ke Oktal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan hexadesimal menjadi biner terlebih dahulu  kemudian dikonversikan ke octal.

Contoh :

55F (16) = …..(8)

55F(16) = 010101011111(2)

010101011111 (2) = 2537 (8)